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2015考研数学三真题解析之导数的定义

2019-12-27 21:53

  文章来源:文都教育

  现在考生们可能最关心的问题就是分数线的问题,根据多年的考研辅导经验,我感觉今年的数学试卷的难度和往年基本上类同,由于我们的大纲没有变化,而考试的题完全符合大纲的要求,命题组的老师又比较有水平,所以,我感觉2014年的分数线要与2013年的分数线持平或略低一点,数学理工类可能在55分到60分,数学经济类可能在75分左右。但是要取得高分非常难,你要取得125分以上也是非常非常难。正常情况下经过努力90分到120分,这算中等偏上的同学。

第二步,借助几何意义寻求证明思路

  这两题都是直接从导数的定义出现求极限,没有难度,是基本类的题目。不同的是,今年的题目主要是利用导数的定义恒等变形,而2008这道题目主要是利用积分中值定理进行证明。希望2016考研的考生在明年的复习中注意好好利用真题的价值。

  第一,一定要有2014年数学入学考试大纲。这个是教育部考试中心编的,最有权威,因为教育部考试中心数学考试不指定任何的参考书,也不指定任何教科书,它惟一考试的依据就是。所以,一定要使每个考生知道,我要有数学,数学明确地规定了每一章考试的内容和考试的要求,这是第一个工具书。

第一步,结合几何意义记住基本原理

图片 12015考研数学三真题解析之导数的定义

  第三,要有教科书,现在大家备考都是基础阶段,尤其是要抓住寒假,1月中旬就放寒假了,一定要抓住放寒假一个月的时间,刻苦的对着大纲认真看教科书,看教科书上大纲所要求的概念、公式、性质、定理,要真正理解,一定要知道概念的叙述,数学的含义,更要知道这个概念和其他概念之间的关系。教科书是我们备考的母体,也是最好的参考书,因为我们发现所有的真题,你只要给它进行化解一步到两步,所有的真题的题型在我们教科书的例题中都有所反映。

二、微分中值定理的相关证明

  2015考研[微博]数三真题相比去年来说,难度稍微降低了一些,对于微积分、线性代数和概率统计各科的题目都没有去年的难度大。对于证明题几乎是每个学生的弱点,但是今年的证明题相对来说都比去年的简单,下面老师就19题中第一小问的证明进行一下分析。

  今年考试的四大特点,第一就是内容覆盖面比较广,没有出现偏题和怪题,难度适中,而且可区分度好。注重基础的考查,三个卷子都考查了基本题型求渐近线、计算4阶行列式、求未定式的极限、二元函数的极值等。第二就是加强了概念、公式、性质、定理之间的综合性的考查。比如数学一、二、三考二元函数偏导数和微分方程的综合题,利用对称性化简二重积分并利用极坐标计算的综合题等等。第三,计算量相对的来讲比往年的计算量缩小了,往年计算量偏大,甚至有些是烦琐的推导计算。今年计算量相往年比计算量偏少,但是考察点完全一样,知识的覆盖面更广了。比如数学一考了利用Stokes公式计算曲线积分的填空题,数学二考了曲率半径的填空题,都考了二次型中负惯性指数的概念题。第四,就是加强能力的考查,题目更加灵活,更能反映出学生的科学思维品质和创新能力,避免死记硬背和单纯模仿。

第三步,逆推法

  解答题都是考查综合的计算能力,推理能力和证明能力和应用能力,今年计算题的计算量比较适中,但是并不是很简单,并不是很好做。因为每一个题都需要你对概念、公式、性质、定理把握得非常好。而且尤其解答题每一步都应该在转折过程中找到转折的方向。

在考查的时候,一般会把三类定理两两结合起来进行考查,所以要总结到现在为止,所考查的题型。

  选择题和填空题整体的难度和去年持平,出的题都是概念、公式、性质、定理的熟练程度,准确程度。这些基本知识主要是考察你对大纲上所要求的概念、公式性质、定理,你理解的准确度和应用。有一些少量的题目,我觉得它并不是非常基本,主要体现在填空题里,就是关于无偏估计的计算,这道题稍微难一点。

2.微分中值定理;

  第二,你要想考研,历年真题非常重要,2015年的考生,同学们现在开始准备了,一定要高度重视真题,近10年到15年的真题就是完全按照考试大纲来的,真题的题型重复率80%到90%。真正从来没有见过的题型不到5%。因为它的出题的依据,命题组的老师出题的依据就是考试大纲,大纲上要求的内容就可以考,大纲上不要求的内容绝对不能考,所以大家在备考过程中,高度重视真题。这个真题不是2013年的真题和2012年或者是2011年的真题完全一样,是把近十年的真题拿来,然后把近十年的真题按照大纲一章一章的内容最后都列出来,我们发现真题题型的重复率将近90%。真题是命题组老师出题的捷径,又代表了命题的方向,它比所有参考书的题都好。

微分中值定理的证明题历来是考研的重难点,其考试特点是综合性强,涉及知识面广,涉及到中值的等式主要是三类定理:

  每年高等数学都有证明题,我们知道高数的证明题是考生们比较容易失分的题目,证明题本身就是在23个题当中算是中等难度偏上的题,今年各个卷种,高等数学的证明题也比较难,这是客观存在的。今年数二和数三的证明题跟往年的证明题持平,证明过程中要用到好多综合的知识,考察一个同学综合的数学素质的高低。但是我们的证明题往往命题出得很好,好在,第一问用积分不等式的性质一般是可以证明出来的,第二问需要把常数b改为未知数x,设辅助函数,并求导、利用单调性证明。总之,今年高等数学证明题的难度跟往年持平。

在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性,再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。

  但是今年综合性很强的题目有,尤其是在高等数学中,你像数一高等数学第19题,是两问,一证明一个不等式,要利用数列极限存在定理。二,证明一个正项数列的收敛性。这个证明过程要用到好多数学上常用的一些方法,这就需要你的综合性,完整的做出来并不是很容易的。这样的综合性的题一定要把每一部分的知识点搞透,而且他们之间的联系要搞好。才能够对这个解答题完整的做出来。其实解题时往往切入点很重要,看到这种题,首先第一步你应该想到用什么样的概念、公式、性质、定理去切入,切入进去以后每一步都容易出现错误,要保证每一步对,那么你的综合能力要体现得很好。

一、数列极限的证明

  因为2014年考生已经考完了,现在好多备考2015年的考生已经准备复习数学了。我觉得数学备考一定要遵循八个字:尽早复习,持之以恒。因为数学都是考生在大学一二年级所学过的,现在进入大三大四都已经基本忘掉了,数学除了看以外还要练,这是数学本身的一个特点。

考研数学难题一般出现在高等数学部分,高等数学题目中比较困难的是证明题,对历年考研真题分析得出最容易出证明题的地方如下:

  建议2015年考生对2015年备考一定要准备一些材料。

一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。

  今年的数学试题和以往的命题思路、思想方法都是连贯的、稳定的。今年数学整体情况数学题出得比较科学,完全符合2014年考试大纲的要求,各个数学卷子包括数学一,数学二,数学三,整体的难度跟去年持平,完全符合大纲的要求。总体上来说大部分题目还是适中的,有少量题目是难的。出题的范围、出题的深度我觉得也是比较合适的,没有偏题、怪题,难度适中,考查的重点就是考研[微博]数学大[微博]纲中所要求的重点,而且区分度会比较好。

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数的单调性推出结论。

第二类是不等式的证明题,包括定积分等式和不等式的证明题。

主要涉及的方法有微分学的方法——常数变异法和积分学的方法——换元法和分部积分法。

数列极限的证明是数一、二的重点,特别是数二最近几年考的非常频繁,已经考过好几次大的证明题,一般大题中涉及到数列极限的证明,用到的方法是单调有界准则。

对于那些经常使用如上方法的考生来说,利用三步走就能轻松收获数学证明的10分,但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说,却常常轻易丢失10分,后一部分同学可以按“证明三步走”来建立自信心,以阻止考试分数的白白流失。

因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。

3.积分中值定理

包括罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理,其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题,考查频率底,所以以前两个定理为主。

以上是容易出证明题的地方,同学们在复习的时候要重点归纳这类题目的解法。那么,遇到这类的证明题,我们应该用什么方法解题呢?

考研数学每年必考证明题,证明题都会出什么题?怎么证?下面就来看看数学证明题的类别及证法。

重要的定理主要包括零点定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。

再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件做出函数y=f(x)及y=1-x在[0,1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得了所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话,转第三步。

1.零点定理和介质定理;

积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。

知道基本原理是证明的基础,知道的程度不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。

第一类是方程根的问题,包括方程根唯一性和方程根的个数的讨论题。

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